Comptes rendus mathématiques de l'Académie des sciences
Mathematical Reports of the Academy of Science

Volume		Number		The Royal Society of Canada	June
Tom	31	Numéro	2	La Société royale du Canada	Juin	2009

ALEXANDER BRUDNYI Center Problem for Odes with Coefficients Generating the Group of Rectangular Paths

ABSTRACT. We solve an analog of the Poincaré Center-Focus problem for the class of ordinary differential equations ${\frac{{dv}}{{dx}}}$ = $\sum_{{i=1}}^{{\infty}}$a_i(x) vⁱ⁺¹, such that the first integrals of vectors of their coefficients determine rectangular paths in finite-dimensional complex vector spaces. In particular, we prove that all centers of such equations are universal, i.e., are determined by means of certain composition conditions. Also, we solve the Bautin problem on the number of periodic solutions with sufficiently small initial values for finite-dimensional families of such equations.

RÉSUMÉ. Nous résolvons l'analogue du problème du centre-foyer de Poincaré pour les équations différentielles ordinaires ${\frac{{dv}}{{dx}}}$ = $\sum_{{i=1}}^{{\infty}}$a_i(x) vⁱ⁺¹ telles que les premières intégrales des vecteurs de leurs coefficients déterminent des chemins rectangulaires dans les espaces vectoriels complexes de dimension finie. En particulier, nous démontrons que tous les centres de telles équations sont universelles, c'est-à-dire déterminées par certaines conditions composées. De plus, nous résolvons le problème de Bautin sur le nombre de solutions périodiques ayant des valeurs initiales suffisamment petites pour les familles de dimension finie de telles équations.

SERIGNE TOUBA SALL, CHEIKH TIDIANE SECK and GANE SAMB LO Une Théorie générale asymptotique des mesures de pauvreté

ABSTRACT. In this note, we introduce a Generalized form of the Poverty Index (GPI) including almost all the available ones in the literature as well as the general Exact asymptotic Poverty Index. The asymptotic normality theory is then established for the GPI when mild conditions on the distribution of the income or the expenditure variable are assumed. The results are conclusively simulated and turn out to be efficient for poverty monitoring (in time) and poverty comparison (in space) with the help of accurate confidence intervals.

RÉSUMÉ. Dans cette note, nous proposons une forme très générale de l'indicateur de pauvreté de façon à inclure les indices disponibles dans la littérature. La théorie de la normalité asymptotique est ensuite établie dans sa globalité avec des conditions relativement douces sur la distribution des revenus ou de la dépense. Les résultats simulés avec satisfaction se révèlent efficaces pour l'évaluation et le suivi spatio-temporel de la pauvreté au moyen d'intervalles de confiance précis.

AHMET TEKCAN and ARZU ÖZKOÇ Positive Definite Binary Quadratic Forms, Quadratic Congruences, and Singular Curves

ABSTRACT. We consider some properties of positive definite binary quadratic forms F_j in the family $\Omega$. We determine the number of integer solutions of quadratic congruences C_Fj and determine the number of rational points on singular curves E_Fj related to F_j over finite fields $\mathbb {F}$_p.

RÉSUMÉ. On considère quelques propriétés des formes quadratiques binaires définies positives F_j dans la famille $\Omega$. On détermine le nombre de solutions entières des congruences quadratiques C_Fj, et le nombre de points rationnels sur des courbes singulières E_Fj reliées aux F_j sur des corps finis  $\mathbb {F}$_p.