Comptes rendus mathématiques de l'Académie des sciences
Mathematical Reports of the Academy of Science

Volume		Number		The Royal Society of Canada	December
Tom	30	Numéro	4	La Société royale du Canada	Decembre	2008

DAMIR KINZEBULATOV A note on Gagliardo-Nirenberg type inequalities on analytic sets

ABSTRACT. Given an analytic set X and x $\in$ X, we show that X admits (in a relatively compact neighbourhood of x) a modified Gagliardo-Nirenberg inequality, depending on a certain exponent s $\geq$ 1 (s = 1 in case of a manifold). The infimum of the set of all such s characterizes, in a sense, the type of singularity at x.

RÉSUMÉ. Etant donné un ensemble analytique X et x $\in$ X, nous montrons que X admet (dans un voisinage relativement compact de x) une inégalité de Gagliardo-Nirenberg modifiée, en fonction d'un certain exposant s $\geq$ 1 (s = 1 dans le cas d'une variété). La borne inférieure de l'ensemble de tous ces s caractérise, en un sens, le type de singularité en x.

D. KINZEBULATOV and L. SHARTSER Towards an optimal result on unique continuation for solutions of Schrödinger operators

ABSTRACT. We establish the property of unique continuation (also known as quasianalyticity property for C^$\infty$ functions) for functions u satisfying a differential inequality |$\Delta$u| $\leq$ | V| | u| with potentials V from a wide class of functions (including locally L^{${\frac{{d}}{{2}}}$,$\infty$}($\mathbb {R}$_d) spaces) for which the self-adjoint Schrödinger operator is well defined. Motivating question: Is it true that for potentials V, for which the self-adjoint Schrödinger operator is well defined, its eigenfunctions satisfy the unique continuation property?

RÉSUMÉ. On montre la propriété de l'extension unique (également connue comme quasianaliticité des fonctions C^$\infty$) des fonctions u qui satisfout l'inégalité differentiel |$\Delta$u| $\leq$ | V| | u| avec des potentiels V d'une grande classe de fonctions (y compris des espaces L^{${\frac{{d}}{{2}}}$,$\infty$}($\mathbb {R}$_d)) pour lesquelles l'opérateur auto-adjoint de Schrödinger est bien défini. Pour motiver la question: est-ce que les fonctions propres de tous les potentiels V pour qui l'opérateur auto-adjoint de Schrödinger est bien défini satisfait la propriété d'extension unique?

PINAKI MONDAL An affine Bezout type theorem and projective completions of affine varieties

ABSTRACT. We study projective completions of affine algebraic varieties that are given by filtrations on their rings of regular functions, including a formula for their degrees. For a quasifinite polynomial map P (i.e., with all fibers finite) of affine varieties, we prove that there are completions of the source that do not add points at infinity for P (i.e., in the intersection of completions of the hypersurfaces corresponding to a generic fiber and determined by the component functions of P). Moreover, we show that there are ``finite type'' completions with the latter property determined by ``degree-like functions'' that can be expressed as the maximum of a finite number of ``semidegrees'', i.e., maps of the ring of regular functions excluding zero, into integers, which send products into sums and sums into maxima (with a possible exception when the summands have the same semidegree). We characterize the latter type filtrations as the ones for which the ideal of the ``hypersurface at infinity'' is radical. Moreover, we establish a one-to-one correspondence between the collection of minimal associated primes of the latter ideal and the unique minimal collection of semidegrees needed to define the corresponding degree-like function. We also prove an ``affine Bezout type'' theorem for quasifinite polynomial maps P : $\mathbb {C}$ⁿ$\to$$\mathbb {C}$ⁿ which admit completions that do not add points at infinity for P and are determined by semidegrees.

RÉSUMÉ. Nous étudions les complétions projectives de variétés affines algébriques qui sont données par des filtrations sur leurs anneaux des fonctions régulières, y compris une formule pour leurs degrés. Pour une application quasifinie polynomiale P (c'est-à-dire avec toutes les fibres finies) affine de variétés, nous prouvons qu'il existe des complétions de la source qui n'ajoutent aucun point à l'infini pour P (c'est-à-dire à l'intersection des complétions des hypersurfaces correspondantes à une fibre générique et déterminée par les fonctions composantes de P). De plus, nous montrons qu'il existe de ``type fini'' complétions avec cette dernière propriété determinée par des ``fonctions de type degré'' qui peut être exprimé comme les maxima d'un nombre fini de `semidegrés', c'est-à-dire les applications de l'anneau des coordonnées, moins zéro, sur les entiers, qui envoient des produits aux sommes et les sommes aux maxima (avec une exception possible lorsque les monômes à additionner ont les mêmes semidegrés). Nous caractérisons les filtrations du dernier type comme celles pour qui l'idéal de l'hypersurface `à l'infini' est radical. En outre, nous établissons une correspondance bijective entre la collection des premiers minimaux associés à ce dernier idéal et la collection minimale unique de semidegrés nécessaires pour la définition de la fonction pareille au degré correspondante. Nous démontrons aussi un théorème du `type de Bézout affine' pour applications quasifinies polynomiales P : $\mathbb {C}$ⁿ$\to$$\mathbb {C}$ⁿ qui admettent des complétions qui n'ajoutent aucun point à l'infini pour P et sont déterminées par des semidegrés.