Comptes rendus mathématiques de l'Académie des sciences
Mathematical Reports of the Academy of Science

Volume		Number		The Royal Society of Canada	March
Tom	30	Numéro	1	La Société royale du Canada	Mars	2008

VLADIMIR GOL'DSHTEIN and MARC TROYANOV On the naturality of the exterior differential

ABSTRACT. We give sufficient conditions for the naturality of the exterior differential under Sobolev mappings. In other words we study the validity of the equation d f^*$\alpha$ = f^* d$\alpha$ for a smooth form $\alpha$ and a Sobolev map f.

RÉSUMÉ. Nous donnons des conditions suffisantes pour la validité de la naturalité de la différentielle extérieure par rapport à une

DOMENICO PERRONE On the volume of unit vector fields on Riemannian three-manifolds

ABSTRACT. H. Gluck and W. Ziller proved that the Hopf vector fields, namely, the unit Killing vector fields, are the unique unit vector fields on the unit sphere S³ that minimize the functional volume. The authors proved this important and famous result by using the method of ``calibrated geometries'' of Federer and Harvey-Lawson. In this paper, by using a different method, we get an analogue of Gluck and Ziller's theorem for a compact Sasakian three-manifold with Webster scalar curvature w $\geq$ 1. Moreover, our method gives a new proof of Gluck and Ziller's theorem. We also extend a theorem of F. Brito about the energy of unit vector fields.

RÉSUMÉ. H. Gluck et W. Ziller prouvèrent que les champs de Hopf, c'est-á-dire, les champs vectoriels unitaires de Killing, sont les seuls champs vectoriels unitaires sur la sphére unitaire S³ que minimisent le volume fonctionnel. Ils prouvèrent cet résultat important en utilisant la méthode des ``géométries calibrées'' de Federer et Harvey-Lawson. Dans cet article, en utilisant une méthode différente, nous obtenons l'analogue du théorème de Gluck et Ziller pour une 3-variété compact de Sasaki avec courbure scalaire de Webster w $\geq$ 1. En outre, notre méthode donne une nouvelle démonstration du théorème de Gluck et Ziller. Nous aussi étendons un théorème de Brito concernant l'énergie de champs vectoriels unitaires.

AHMET TEKCAN On the cycles of indefinite binary quadratic forms and cycles of ideals III

ABSTRACT. Let $\delta$ be a real quadratic irrational integer with trace t = $\delta$ + $\overline{{\delta}}$ and norm n = $\delta$.$\overline{{\delta}}$. Then for a real quadratic irrational $\gamma$ $\in$ $\mathbb {Q}$($\delta$), there are rational integers P and Q such that $\gamma$ = ${\frac{{P+\delta}}{{Q}}}$ with Q|($\delta$ + P)($\overline{{\delta}}$ + P). So for each $\gamma$, we have an ideal I_$\gamma$ = [Q, P + $\delta$] and an indefinite quadratic form F_$\gamma$(x, y) = Q(x + $\delta$y)(x + $\overline{{\delta}}$y) of discriminant $\Delta$ = t² - 4n. In this work, we derive some properties of I_$\gamma$ and F_$\gamma$ for some specific values of $\delta$.

RÉSUMÉ. Soit $\delta$ un entier irrationel quadratique réel de trace t = $\delta$ + $\overline{{\delta}}$ et norme n = $\delta$.$\overline{{\delta}}$. Pour un irrationel quadratique réel $\gamma$ $\in$ $\mathbb {Q}$($\delta$), il existe des entiers rationels P et Q tels que $\gamma$ = ${\frac{{P+\delta}}{{Q}}}$ avec Q|($\delta$ + P)($\overline{{\delta}}$ + P). Ainsi pour chaque $\gamma$, on a un idéal I_$\gamma$ = [Q, P + $\delta$] et une forme quadratique indéfinie F_$\gamma$(x, y) = Q(x + $\delta$y)(x + $\overline{{\delta}}$y) de discriminant $\Delta$ = t² - 4n. On déduit quelques propriétés de I_$\gamma$ et F_$\gamma$ pour certains valeurs de $\delta$.