Comptes rendus mathématiques de l'Académie des sciences
Mathematical Reports of the Academy of Science

Volume		Number		The Royal Society of Canada	March
Tom	28	Numéro	1	La Société royale du Canada	Mars	2006

KAROL BARON and WITOLD JARCZYK Non-negative solutions of a convolution equation

ABSTRACT. We show that any Lebesgue measurable function f : $\mathbb {R}$$\to$[0,$\infty$) satisfying f (x) = $\int_{0}^{{\infty}}$f (x + y)f (y) dy has the form f (x) = 2$\lambda$e^-$\lambda$x with a $\lambda$ $\in$ [0,$\infty$).

RÉSUMÉ. Nous démontrons que toute fonction mesurable au sens de Lebesgue f : $\mathbb {R}$$\to$[0,$\infty$) satisfaisant à f (x) = $\int_{0}^{{\infty}}$f (x + y)f (y) dy est de la forme f (x) = 2$\lambda$e^-$\lambda$x avec un $\lambda$ $\in$ [0,$\infty$).

MICHAEL A. BENNETT and JAMIE MULHOLLAND On the diophantine equation xⁿ + yⁿ = 2^$\alpha$pz²

ABSTRACT. We show, if p is prime, that the equation xⁿ + yⁿ = 2pz² has no solutions in coprime integers x, y and z with | xy| > 1 and prime n > p^27p2, and, if p$\ne$7, the equation xⁿ + yⁿ = pz² has no solutions in coprime integers x, y and z with | xy| > 1, z even and prime n > p^3p2.

RÉSUMÉ. Nous montrons que, si p est premier, l'équation xⁿ + yⁿ = 2pz² n'a pas de solution parmi les nombres entiers copremiers x, y, z, avec | xy| > 1 et n > p^27p2 premier. Nous montrons aussi que, si p$\ne$7, l'équation xⁿ + yⁿ = pz² n'a pas de solution parmi les nombres entiers copremiers x, y, z, avec | xy| > 1, z pair, et n > p^3p2 premier.

EMMANUEL KNAFO Variance of Distribution of Almost Primes in Arithmetic Progressions

ABSTRACT. We give an effective lower bound for the variance of distribution of k-almost primes in arithmetic progressions. This lower bound approaches the expected asymptotic `exponentially fast' as k goes to infinity.

RÉSUMÉ. Nous donnons une borne inférieure effective pour la variance de la distribution des nombres presque premiers d'ordre k dans les progressions arithmétiques. Cette borne inférieure s'approche de la valeur asymptotique attendue `exponentiellement vite' quand k tend vers l'infini.

ZYGFRYD KOMINEK AND JACEK MROWIEC Nonstability results in the theory of convex functions

ABSTRACT. We show that the inequality defining convex functions (convex in the sense of Wright) is not stable in infinitely-dimensional spaces. The inequality defining Jensen-convex functions is not stable either, even if its domain is a real interval.

RÉSUMÉ. Nous montrons que l'inégalité définissant des fonctions convexes (convexes dans le sens de Wright) n'est pas stable dans les espaces à dimension infinie. L'inégalité définissant des fonctions convexes dans le sens de Jensen n'est pas stable non plus, même si son domaine est une intervalle réelle.

ALAIN TOGBÉ On the solutions of a family of quartic Thue equations, II

ABSTRACT. In this paper, we completely solve the following family of diophantine equations associated with a family of cyclic quartic number fields: $\Phi_{n}^{}$(x, y) = x⁴ - n²x³y - (n³ +2n² +4n + 2)x²y² - n²xy³ + y⁴ = 1. There is no integral solution except for the trivial ones: (1, 0),  (- 1, 0),  (0, 1),  (0, - 1). We extend a previous result obtained in 2000. In fact, the new result is achieved by sharpening the previous result, using another technique.

RÉSUMÉ. Dans cet article, nous résolvons complètement la famille suivante d'équations Diophantiennes associées à une famille de corps de nombres cycliques de degré 4: $\Phi_{n}^{}$(x, y) = x⁴ - n²x³y - (n³ +2n² +4n + 2)x²y² - n²xy³ + y⁴ = 1. Il n'existe aucune solution entière à l'exception des solutions