Comptes rendus mathématiques de l'Académie des sciences
Mathematical Reports of the Academy of Science

Volume		Number		The Royal Society of Canada	December
Tom	27	Numéro	4	La Société royale du Canada	Decembre	2005

HICHEM BEN-EL-MECHAIEKH The Ky Fan fixed point theorem on star-shaped domains

ABSTRACT. We extend the Ky Fan fixed point theorem for a set-valued map with convex non-empty values and open fibers defined on a star-shaped compact subset in a topological vector space. The proof is elementary and based on a matching theorem of Ky Fan for open covers of convex sets.

RÉSUMÉ. Nous généralisons le théorème de point fixe de Ky Fan pour une application à valeurs d'ensembles convexes non-vides et à images inverses ouvertes définie sur un domaine compact et étoilé dans un espace vectoriel topologique. La preuve est élémentaire et se base sur un théorème de ``matching'' de Ky Fan pour les recouvrements ouverts d'ensembles convexes.

SEBASTIAN M. CIOABA Perfect matchings, eigenvalues and expansion

ABSTRACT. In this note, we prove a sufficient condition for the existence of a perfect matching in a regular graph in terms of its eigenvalues and its expansion constant. We improve a recent result of Brouwer and Haemers.

RÉSUMÉ. Dans cette note, nous prouvons un état suffisant pour l'existence d'un assortiment parfait dans un graphe régulier en termes de ses valeurs propres et son constante d'expansion. Nous améliorons un résultat récent de Brouwer et Haemers.

PATRICK INGRAM On k-th power numerical centres

ABSTRACT. We call the integer N a kth-power numerical centre for n if

1^k +2^k + ^... + N^k = N^k + (N + 1)^k + ^... + n^k.

We prove, using the explicit lower bounds on linear forms in elliptic logarithms, that there are no nontrivial fifth-power numerical centres for any n, and demonstrate that there are only finitely many pairs (N, n) satisfying the above for any given k > 1. The problem of finding k-th-power centres for k = 1, 2, 3 has been treated in [steiner1978].

RÉSUMÉ. On dit qu'un entier N est un centre numérique de puissance k pour n si

1^k +2^k + ^... + N^k = N^k + (N + 1)^k + ^... + n^k.

En utilisant des minorations explicites de formes linéaires de logarithmes elliptiques, on démontre qu'il n'y a aucun centre numérique non trivial de puissance 5, et on montre qu'il y a qu'un nombre fini des paires (N, n) qui satisfont l'équation précèdente pour k > 1. Le problème de trouver des centres de puissance k pour k = 1, 2, 3 est traité dans [7].

STEVEN J. MILLER Variation in the number of points on elliptic curves and applications to excess rank

ABSTRACT. Michel proved that for a one-parameter family of elliptic curves over $\mathbb {Q}$(T) with non-constant j(T) that the second moment of the number of solutions modulo p is p² + O(p^3/2). We show this bound is sharp by studying y² = x³ + Tx² + 1. Lower order terms for such moments in a family are related to lower order terms in the n-level densities of Katz and Sarnak, which describe the behavior of the zeros near the central point of the associated L-functions. We conclude by investigating similar families and show how the lower order terms in the second moment may affect the expected bounds for the average rank of families in numerical investigations.

RÉSUMÉ. Michel a démontré que pour une famille de courbes élliptiques à un paramètre sur $\mathbb {Q}$(T) avec j(T) non-constant, le second moment du nombre de solutions modulo p est p² + O(p^3/2). Nous montrons que cette limite est précise en étudiant y² = x³ + Tx² + 1. Pour de tels moments dans une famille, les termes d'ordre inférieur sont liés aux termes dans les n-niveaux de densité de Katz et Sarnak, qui decrivent le comportement des zéros près du point central des L-fonctions associées. Nous concluons en recherchant des familles semblables et en montrant comment les termes d'ordre inférieur dans le second moment peuvent affecter les bornes pour le rang moyen de familles dans des simulations numériques.

SIMEON REICH and ALEXANDER J. ZASLAVSKI Convergence of iterates of typical nonexpansive mappings in Banach spaces

ABSTRACT. Let K be a bounded, closed and convex subset of a Banach space X. We show that the iterates of a typical element (in the sense of Baire category) of a class of nonexpansive mappings which take K to X converge uniformly on K to the unique fixed point of this typical element.

RÉSUMÉ. Soit K un sous-ensemble borné, fermé et convexe d'un espace de Banach X. Nous démontrons que les itérés d'un élément typique (au sens des catégories de Baire) d'une classe d'applications non-expansives de K dans X convergent uniformément sur K vers l'unique point fixe de cet élément typique.