Comptes rendus mathématiques de l'Académie des sciences
Mathematical Reports of the Academy of Science

Volume		Number		The Royal Society of Canada	September
Tom	26	Numéro	3	La Société royale du Canada	Septembre	2004

PETER C. GIBSON and MICHAEL P. LAMOUREUX Maximally symmetric, minimally redundant partitions of unity in the plane

ABSTRACT. Partitions of unity that consist of translates of a single function--called the atom--over a planar lattice arise in recently developed implementations of the Gabor transform, where for numerical reasons it is desirable to maximize the symmetry of the atom. In the present article we determine the maximum symmetry that is possible for such an atom, and construct explicitly a maximally symmetric example.

RÉSUMÉ. Des partitions de l'unité qui sont composées des translations d'une seule fonction, dit l'atome, par les sommets d'un réseau dans le plan font partie des implémentations récentes de la transformée de Gabor, dont, pour des raisons numériques, il est important que l'atome soit aussi symétrique que possible. Ici on determine la symétrie maximale possible pour un tel atome, et on construit également un exemple explicite d'un atome possédant cette symétrie.

W. HERFORT and P. A. ZALESSKII Virtually Free Pro-p Groups

ABSTRACT. Virtually free pro-p group s are described. This generalizes Serre's result, stating that a torsion-free virtually free pro-p group is free pro-p. As a consequence of our main result certain finite subgroups and their conjugacy classes in the automorphism group of a finitely generated free pro-p group are classified.

RÉSUMÉ. Nous étudions la classe des groupes pro-p avec un sous-groupe ouvert et pro-p libre. Nous montrons que tout ce groupe opère sur un arbre pro-p qui a des stabilisateurs de points finis. Il s'agit d'une généralisation du resultat bien connu de J.-P. Serre, que tout ce groupe pro-p sans torsion est un groupe pro-p libre. Par conséquence, nous décrivons quelques sous-groupes finis du groupe des automorphismes d'un groupe pro-p libre engendré par une partie finie.

JUNG-JO LEE A remark on the ranks of twists of elliptic curves

ABSTRACT. Let f (n) be the number of factorizations of n = ab for which a + b is a square. We can prove an estimate

$$\sum_{{n\leq x}}^{}$$f (n) = Cx + O(x^1/2)

for some constant C. This formula is a consequence of our study of ranks of elliptic curves.

RÉSUMÉ. Soit f (n) le nombre de factorizations n = ab pour laquelle a + b est un carré. Nous démontrons une estimation

$$\sum_{{n\leq x}}^{}$$f (n) = Cx + O(x^1/2)

pour une constante C. Cette formule est une conséquence concernant les études des rangs des courbes elliptiques.

ERHARD NEHER Lie Tori

ABSTRACT. We announce some results on Lie tori which are used in the description of extended affine Lie algebras in the following article [n:eala].

RÉSUMÉ. On annonce ici quelques résultats concernant les tores de Lie nécessaires à la construction des algèbres de Lie affines étendues dans [n:eala].

ERHARD NEHER Extended affine Lie algebras

ABSTRACT. We present a construction of all extended affine Lie algebras in terms of Lie tori.

RÉSUMÉ. On décrit une construction qui permet de construire tous les algèbres de Lie affines étendues à partir des tores de Lie.