Comptes rendus mathématiques de l'Académie des sciences
Mathematical Reports of the Academy of Science

Volume		Number		The Royal Society of Canada	June
Tom	26	Numéro	2	La Société royale du Canada	Juin	2004

E. BALLICO On the infinite-dimensional holomorphic structure on topological bundles

ABSTRACT. Let (X, d ) be a complete metrizable space, f : X$\to$$\bf {C}$ a continuous map and E a topological vector bundle on X. Here we prove the existence of a complex Banach space V and a continuous closed injective map j : X$\to$V such that j(X) is the zero-locus of a family of holomorphic functions on V, f is holomorphic and E is a holomorphic vector bundle with respect to the complex structure on X induced by j.

RÉSUMÉ. Soient (X, d ) une espace metrizable complete, f : X$\to$$\bf {C}$ une application continue et E une fibré vectoriel topologique sur X. Nous prouvons ici l'existence d'un espace de Banach complexe V et d'une application injectif, continue et fermé j : X$\to$V tel que j(X) soit l'ensemble des zeros d'une ensemple des fonctions analytiques et E soit une fibré analytique pour la structure complexe de X donnée par j.

SCOTT T. CHAPMAN, K. ALAN LOPER and WILLIAM W. SMITH Strongly Two-Generated Ideals in Rings of Integer-Valued Polynomials Determined by Finite Sets

ABSTRACT. Let D be an integral domain, E = {e₁,..., e_k} a finite nonempty subset of its quotient field K and R^E_D the ring of polynomials in K[x] which map E into D. A 2-generated ideal I of R^E_D is called strongly two-generated if each of its nonzero elements can be chosen as one of two generators of I. We characterize the strongly two-generated ideals of R^E_D. In the case where D is not a Bezout domain and | E| > 1, we show further that the strongly two-generated ideals of the ring R^E_D form a proper nontrivial subgroup of its ideal class group.

RÉSUMÉ. Soient D un anneau intègre de corps des fractions K, E = {e₁,..., e_k} une partie non vide finie de K et R^E_D l'anneau des polynômes de K[x] qui envoient E dans D. On dit qu'un idéal I de R^E_D engendré par 2 éléments est fortement engendré par 2 éléments si chacun de ses éléments non nuls peut être choisi pour l'un des deux générateurs. On caractérise les idéaux de R^E_D fortement engendrés par 2 générateurs. Dans le cas où D n'est pas un anneau de Bézout et où |E|> 1, on montre en outre que les idéaux fortement 2-engendrés de l'anneau R^E_D forment un sous-groupe non trivial de son groupe des classes.

FRANCISCO JAVIER GALLEGO and BANGERE P. PURNAPRAJNA Classification of Quadruple Canonical Covers: Galois Case

RÉSUMÉ. Le but de cet article est de décrire la classification obtenue dans [GP1] des revêtements galoisiens de degré 4 des surfaces de degré minimal qui sont définis par le morphisme canonique. Cette classification montre que ces revêtements sont ou bien bidoubles ou bien cycliques non simples. S'ils sont des revêtements bidoubles, alors ils sont tous, à une exception près, des produits fibrés de revêtements doubles. À partir de cette classification, on déduit des implications importantes, comme l'existence de familles d'un genre géométrique non borné et aussi, l'existence de familles avec irregularité non bornée. Cette situation est tres différente de celle des revêtements canoniques doubles et triples.

JOHN KONVALINA and VALENTIN MATACHE Palindrome-Polynomials With Roots on the Unit Circle

ABSTRACT. Given a polynomial f (x) of degree n, let f^r(x) denote its reciprocal, i.e., f^r(x) = xⁿf (1/x). If a polynomial is equal to its reciprocal, we call it a palindrome since the coefficients are the same when read backwards or forwards. In this mathematical note we show that palindromes whose coefficients satisfy a certain magnitude-condition must have a root on the unit circle. More exactly our main result is the following. If a palindrome f (x) of even degree n with real coefficients $\epsilon_{0}^{}$,$\epsilon_{1}^{}$,...,$\epsilon_{n}^{}$ satisfies the condition |$\epsilon_{k}^{}$| $\geq$ |$\epsilon_{{n/2}}^{}$| cos$\bigl($$\pi$/([${\frac{{n/2}}{{n/2-k}}}$] + 2)$\bigr)$, for some k $\in$ {0, 1,...n/2 - 1}, then f (x) has unimodular roots. In particular, palindromes with coefficients 0 and 1 always have a root on the unit circle.

RÉSUMÉ. Soit f (x) un polynôme de degré n. Soit f^r(x) = xⁿf (1/x). Le polynôme f (x) s'appelle polynôme réciproque si f^r(x) = f (x). Dans cet article nous prouvons que les polynômes réciproques dont les coefficients possèdent une certaine propriété, ont des zéros sur le cercle unité, c'est-à-dire ont des zeros de valeur absolue 1. Notre principal résultat est le théorème suivant. Soit f (x) un polynôme réciproque dont le degré n est pair et dont les coefficients $\epsilon_{0}^{}$,$\epsilon_{1}^{}$,...,$\epsilon_{n}^{}$ sont des nombres réels tels que |$\epsilon_{k}^{}$| $\geq$ |$\epsilon_{{n/2}}^{}$| cos$\bigl($$\pi$/([${\frac{{n/2}}{{n/2-k}}}$] + 2)$\bigr)$, pour au moins une valeur de k $\in$ {0, 1,...n/2 - 1}. Tel polynôme f (x) possède des zéros de valeur absolue 1. Pour consequence, chaque polynôme réciproque avec des coefficients 0 et 1 a des zéros sur le cercle unité.

R. A. MOLLIN When the Central Norm Equals 2 in the Simple Continued Fraction Expansion of a Quadratic Surd

ABSTRACT. We complete the task, begun in [necandsuff], of determining when the central norm (determined by the infrastructure of the underlying real quadratic field) is equal to 2 in the simple continued fraction expansion of the associated quadratic surd.

RÉSUMÉ. Nous poursuivons le travail amorcé dans l'article [necandsuff], et étudions le problème de déterminer quand la norme centrale (déterminée par l'infracture du corps quadratique réel en question) est égale à 2 dans le développement en fraction continue de l'irrationnalité quadratique associée au corps quadratique.

S. WALTERS Periodic Integral Transforms and C ^* -Algebras

ABSTRACT. We construct canonical integral transforms, analogous to the Fourier transform, that have periods six and three. The existence of this transform is shown to arise naturally from the expectation that the Schwartz space on the real line, viewed as the Heisenberg module of Rieffel and Connes over the rotation C ^* -algebra, should extend to a module action over the crossed product of the latter by the canonical automorphisms of orders three and six (which does in fact happen and is shown here).

RÉSUMÉ. On construit deux transformations intégrales, analogues à la transformation de Fourier, d'ordre six et trois, respectivement. Ces transformations sont reliées à la théorie des automorphismes canoniques d'ordre six et trois de l'algèbre associées à une rotation irrationelle du cercle.