Comptes rendus mathématiques de l'Académie des sciences
Mathematical Reports of the Academy of Science

Volume		Number		The Royal Society of Canada	September
Tom	25	Numéro	3	La Société royale du Canada	Septembre	2003

ISIDORE FLEISCHER Divergence theorem for sets of finite perimeter

ABSTRACT. This is a development of the theorem which uses only bare measure theory (and a smidgen of functional analysis), avoiding recourse to the heavy machinery of ``mollifiers, (co)area formulae, (relative) isoperimetric inequalities, and the Whitney extension theorem'' that the other published treatments are based on. The basic difficulty is to identify the boundary measure, obtained from formal integration by parts from the volume integral over the measurable set of finite perimeter, with Hausdorff measure. This can be achieved with nothing more exotic than an appeal to the compactness in L₁ of bounded BV-norm sets, the Radon-Nikodym and monotone convergence theorems, Fubini and a little multi-dimensional calculus.

RÉSUMÉ. Une dérivation du théorème qui n'utilise que la pure théorie de la mesure (et un brin d'analyse fonctionnelle). Le noyau de la démonstration consiste à reconnaître que la mesure sur la frontière réduite, obtenue par une intégration par parties formelles à partir de l'intégrale de volume sur l'ensemble de périmetre fini, se confonde avec la mesure de Hausdorff. Ceci est achevé par un appel à la compacité en L₁ des ensembles bornés en BV-norme, les théorèmes de Radon-Nikodym et de convergence monotone, Fubini, et un peu de calcul multi-dimensionnel.

G. GAUTHIER, D. KAKO and J. VAILLANCOURT Parameter estimation in a multilevel hierarchy of SDEs

ABSTRACT. We obtain the maximum likelihood estimators for the drift coefficients of a hierarchical model of stochastic processes arising as an extension of the mean field model. The closed form of said estimators is explicited and allows for its use in practice. A central limit theorem for these coefficients is derived.

RÉSUMÉ. Nous obtenons explicitement les estimateurs de vraisemblance maximale pour les coefficients de dérive d'un modèle hiérarchique de processus stochastiques généralisant le modèle de champ moyen. La forme fermée des estimateurs permet une utilisation aisée en pratique. Un théorème de la limite centrale pour ces coefficients estimés est aussi obtenu.

FLORIAN LUCA A note on the divisibility of class numbers of real quadratic fields

RÉSUMÉ. Dans cet article, on prouve que si g$\ge$2 est un entier positif pair fixé, alors pour les valeurs positives grandes de x, il y a un nombre de $\gg$ x^1/g/log x des entiers positifs et libres des careés d < x, tel que le nombre de classes du corps $\bf Q$[$\sqrt{{d}}$] est divisible par g.

NICOLAS MONOD and SORIN POPA On co-amenability for groups and von Neumann algebras

ABSTRACT. We first show that co-amenability does not pass to subgroups, answering a question asked by Eymard in 1972. We then address co-amenability for von Neumann algebras, describing notably how it relates to the former.

RÉSUMÉ. Nous démontrons tout d'abord que la comoyennabilité ne passe pas aux sous-groupes, résolvant ainsi une question posée par P. Eymard en 1972. Nous étudions ensuite la comoyennabilité pour les algèbres de von Neumann; en particulier, nous clarifions le lien avec le cas des groupes.

VLADIMIR PESTOV On some questions of Eymard and Bekka concerning amenability of homogeneous spaces and induced representations

ABSTRACT. Let F $\subseteq$ H $\subseteq$ G be closed subgroups of a locally compact group. In response to a 1972 question by Eymard, we construct an example where the homogeneous factor space G/F is amenable in the sense of Eymard-Greenleaf, while H/F is not. (In our example, G is discrete.) As a corollary which answers a 1990 question by Bekka, the induced representation ind_H^G($\rho$) can be amenable in the sense of Bekka even if $\rho$ is not amenable. The second example, answering another question by Bekka, shows that ind_H^G($\rho$) need not be amenable even if both the representation $\rho$ and the coset space G/H are amenable.

RÉSUMÉ. Soient F $\subseteq$ H $\subseteq$ G deux sous-groupes fermés d'un groupe localement compact G. En réponse à une question posée en 1972 par Eymard, nous construisons un groupe discret G tel que l'espace homogène G/F est moyennable au sens d'Eymard et Greenleaf, bien que H/F n'est pas moyennable. On obtienne un corollaire qui répond à un problème posé par Bekka en 1990: une représentation induite ind_H^G($\rho$) peut être moyennable au sens de Bekka même si $\rho$ n'est pas moyennable. Le deuxième exemple, qui répond à une autre question de Bekka, montre que ind_H^G($\rho$) n'est pas nécessairement moyennable même si la représentation $\rho$ et l'espace homogène G/H sont l'un et l'autre moyennables.

M. SANGO On a degenerate quasilinear stochastic parabolic equation

ABSTRACT. Using the splitting-up method, we establish a new existence result for an initial boundary value problem for the model degenerate stochastic quasilinear parabolic equation

d (| y|^$\alpha$-2y) - [$$\Delta$$y - c₁| y|^2$\mu$-2y]dt = c₂$$\sum_{{l=1}}^{d}$$| y|^{$\sigma_{l}$-1}ydW_t^l,

where W_t^l are one-dimensional Wiener processes defined on a complete probability space, $\alpha$, $\mu$ and $\sigma_{l}^{}$ are some non negative numbers satisfying appropriate restrictions.

RÉSUMÉ. A l'aide d'une méthode de décomposition (éclatement d'opérateurs), nous établissons un nouveau résultat d'existence pour un problème aux limites initial pour l'équation stochastique parabolique non linéaire dégenérée

d (| y|^$\alpha$-2y) - [$$\Delta$$y - c₁| y|^2$\mu$-2y]dt = c₂$$\sum_{{l=1}}^{d}$$| y|^{$\sigma_{l}$-1}ydW_t^l,

où W_t^l sont des procéssus de Wiener unidimensionnels définis sur un espace de probabilités complet, $\alpha$, $\mu$ et $\sigma_{l}^{}$ sont des réels non négatifs satisfaisant à des restrictions appropriées.