Comptes rendus mathématiques de l'Académie des sciences
Mathematical Reports of the Academy of Science

Volume		Number		The Royal Society of Canada	June
Tom	25	Numéro	2	La Société royale du Canada	Juin	2003

NIKY KAMRAN Some recent mathematical developments in general relativity

RÉSUMÉ. Nous passons en revue un certain nombre de résultats récents portant sur l'étude analytique des équations d'Einstein en relativité générale. Parmi les questions qui sont considérées figurent le problème du collapse gravitationnel et de la formation de singularités, ainsi que celui du comportement à long terme des solutions de l'équation de Dirac dans la métrique d'un trou noir chargé en rotation.

PIROSKA LAKATOS A new construction of Salem polynomials

ABSTRACT. An earlier result of the author on the zeros of reciprocal polynomials is applied to give a new construction of Salem numbers.

RÉSUMÉ. Cet article applique un résultat précédent de l'auteur sur les zéros des polynomes réciproques pour répondre à la question de la construction des nouveaux nombres Salem.

WENTANG KUO Summatory functions of elements in Selberg's class II

ABSTRACT. Let F(s) be a Dirichlet series, F(s) = $\sum_{{n=1}}^{}$a_nn^-s, Res > 1. Define the the summatory function S(x) to be $\sum_{{n\leq x}}^{}$a_n. We assume that F(s) satisfies the following conditions. First, for all $\epsilon$ > 0, | a_n| = O(n^$\epsilon$). In addition, it admits analytic continuation and a functional equation. More precisely, there is a function $\Delta$(s) = Q^s$\prod$$\Gamma$($\alpha_{i}^{}$s + $\gamma_{i}^{}$), Q > 0, $\alpha_{i}^{}$ > 0, Re$\gamma_{i}^{}$ > 0, such that F(s)$\Delta$(s) = $\omega$$\overline{{F}}$(1 - s)$\overline{{\Delta}}$(1 - s), |$\omega$| = 1. Furthermore, assume that F(s) is entire. This paper derives an estimation of S(x) without extra conditions. The trivial estimation is S(x) = O(x^1+$\epsilon$), $\forall$$\epsilon$ > 0. Let $\theta$ = ${\frac{{d-1}}{{d+1}}}$ < 1, d = 2$\sum$$\alpha_{i}^{}$. Assume d $\geq$ 2. The main theorem is S(x) = O(Q^{1-$\theta$-$\epsilon$}x^{$\theta$+$\gamma$$\epsilon$}), $\forall$$\epsilon$ > 0, $\gamma$ > 1.

RÉSUMÉ. Soit F(s) une série de Dirichlet, F(s) = $\sum_{{n=1}}^{}$a_nn^-s, Res > 1. Définissons la fonction de sommation S(x) comme étant $\sum_{{n\leq x}}^{}$a_n. Supposons que F(s) satisfait les conditions suivantes: tout d'abord, pour tout $\epsilon$ > 0, | a_n| = O(n^$\epsilon$). Ensuite, F admet des continuations analytiques et des équations fonctionelles. Plus précisément, il existe une fonction $\Delta$(s) = Q^s$\prod$$\Gamma$($\alpha_{i}^{}$s + $\gamma_{i}^{}$), Q > 0, $\alpha_{i}^{}$ > 0, Re$\gamma_{i}^{}$ > 0, telle que F(s)$\Delta$(s) = $\omega$$\overline{{F}}$(1 - s)$\overline{{\Delta}}$(1 - s), |$\omega$| = 1. De plus, assumons que F(s) est entière. Cet article donne une estimation de S(x) sans conditions additionelles. L'estimation triviale est S(x) = O(x^1+$\epsilon$), $\forall$$\epsilon$ > 0. Soit $\theta$ = ${\frac{{d-1}}{{d+1}}}$ < 1,    d = 2$\sum$$\alpha_{i}^{}$. Assumons que d $\geq$ 2. Le théorème principal est S(x) = O(Q^{1-$\theta$-$\epsilon$}x^{$\theta$+$\gamma$$\epsilon$}),    $\forall$$\epsilon$ > 0,$\gamma$ > 1.