Comptes rendus mathématiques de l'Académie des sciences
Mathematical Reports of the Academy of Science

Volume		Number		The Royal Society of Canada	December
Tom	24	Numéro	4	La Société royale du Canada	Decembre	2002

R. CHOUKRI Sur un résultat de type Gelfand-Mazur

ABSTRACT. We show that any subalgebra of $\footnotesize\bf C$(X) endowed with a sequentially complete m-convex topology is isomorphic to $\footnotesize\bf C$.

BRUCE R. EBANKS On some results of Grzaslewicz concerning quadratic maps and additive maps

ABSTRACT. In a 1979 paper, A. Grzaslewicz proved several results characterizing special quadratic and additive maps by means of functional equations and systems of functional equations for real-valued functions. One of the main results was that if n : $\mathbb {R}$ $\rightarrow$ $\mathbb {R}$ ( $\mathbb {R}$ = the field of real numbers) satisfies [n(x + y) - n(x - y)]² = 16n(x)n(y) and n(x) = x⁴n(x^-1) for x $\neq$ 0, then n is either the square of a linear function or the square of a derivation on $\mathbb {R}$. In the present paper we extend those results to more general rings and fields.

RÉSUMÉ. Dans un article de 1979, A. Grzaslewicz a prouvé plusieurs résultats concernant la caractérisation de certaines fonctions additives et quadratiques à l'aide d'équations fonctionnelles et de systèmes d'équations fonctionnelles pour des fonctions à valeurs réelles. L'un des principaux résultats était que, si n : $\mathbb {R}$ $\rightarrow$ $\mathbb {R}$ ( $\mathbb {R}$ = le corps des nombres réels) satisfait [n(x + y) - n(x - y)]² = 16n(x)n(y) et n(x) = x⁴n(x^-1) pour x $\neq$ 0, alors n est soit le carré d'une fonction linéaire, soit le carré d'une dérivation sur $\mathbb {R}$. Dans l'article présent, nous généralisons ces résultats à des anneaux et des corps plus généraux.

OLEG I. BOGOYAVLENSKIJ Exact solutions to the Navier-Stokes equations

ABSTRACT. Infinite-dimensional families of exact solutions are derived for classical Navier-Stokes equations with constant kinematic viscosity.

RÉSUMÉ. Des familles à dimensions infinies de solutions exactes sont dérivées pour les équations classiques de Navier-Stokes avec viscosités kinématiques constantes.

FILIP SAIDAK An elementary proof of a theorem of Delange

ABSTRACT. We will give a short elementary proof of the following theorem: There exists a constant $\Theta$ (given in (8) below), such that for all x we have

$$\sum_{{n\leq x}}^{}$$$$\bigl($$$$\omega$$(n) - loglog x$$\bigr)^{2}_{}$$ = x loglog x + $$\Theta$$x + O$$\left(\vphantom{ \frac{x \log \log x}{\log x} }\right.$$$${\frac{{x \log \log x}}{{\log x}}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{x \log \log x}{\log x} }\right)$$.

RÉSUMÉ. Nous démontrons, d'une façon élémentaire, le théorème

VLADIMIR VINOGRADOV On a class of Lévy processes used to model stock price movements with possible downward jumps

ABSTRACT. We introduce a new stochastic model for stock price movements that naturally generalizes the geometric Brownian motion to the discontinuous setting. Our model is consistent with the submartingale behavior of the stock price movements and is derived by an exponential transformation of a class of Lévy processes with possible downward jumps. We determine a risk-neutral martingale measure and apply it for pricing European call options for such models. In the special case of geometric Brownian motion, our formula becomes the Black-Scholes formula. Our results imply that the geometric Brownian motion and Black-Scholes formula can be used as certain approximations when the magnitude of jumps becomes small. We characterize distributions of the first passage times for the underlying Levy processes generalizing the classical results by Schrödinger (1915) and by Smoluchowsky (1915) to the discontinuous setting. We reveal presence of a critical point in the formation of large deviations which pertain to the long-time behavior of our models. We compare our model with the other models which take into consideration discontinuities in stock price movements.

RÉSUMÉ. Afin de modéliser le cours des actions en bourse, on introduit un nouveau modèle stochastique qui généralise de façon naturelle le mouvement brownien géométrique au cas d'évènements discontinus. Le modèle est en accord avec le comportement de sousmartingale des fluctuations du cours des actions en bourse et est fondé sur une transformation exponentielle d'une classe d'un processus de Lévy avec des sauts négatifs possibles. On détermine une mesure martingale à risque neutre et on l'applique à la détermination du prix des calls européens pour les modèles considérés. Dans le cas spécifique d'un mouvement brownien géométrique, la formule utilisée correspond à la formule de Black-Scholes. Les résultats obtenus impliquent que le mouvement brownien géométrique et la formule de Black-Scholes peuvent être utilisés comme approximations si l'amplitude des sauts est petite. On définit les distributions des premiers temps de passage pour les processus de Lévy sous-jacents qui généralisent au cas discontinu les résultats classiques obtenus par Schrödinger [S]