Comptes rendus mathématiques de l'Académie des sciences
Mathematical Reports of the Academy of Science

Volume		Number		The Royal Society of Canada	September
Tom	24	Numéro	3	La Société royale du Canada	Septembre	2002

DOMENICO PERRONE Hypercontact metric three-manifolds

RÉSUMÉ. Une variété d'hypercontact métrique, de dimension 3, est (i) une variété 3-sasakienne, localement isométrique à la sphère S³(1), ou (ii) est localement isométrique au groupe de Lie SL(2, R), ayant une structure d'hypercontact métrique invariante à gauche. Notamment, une variété d'hypercontact métrique, de dimension 3, compacte et simplement connexe, est homéomorphe à la sphère S³.

R. A. MOLLIN and K. CHENG Continued fractions beepers and Fibonacci numbers

ABSTRACT. We introduce the concept of continued fraction beepers and punctuated beepers. We use this notion to present infinite families of quadratic polynomials {D_k(X)}_{k $\in$ $\mathbb {N}$} such that the continued fraction expansions of $\sqrt{{D_k(X)}}$ have period length $\ell$$\bigl($$\sqrt{{D_k(X)}}$$\bigr)$ going to infinity with k, while for fixed k, $\ell$$\bigl($$\sqrt{{D_k(X)}}$$\bigr)$ = $\ell$$\bigl($$\sqrt{{D_k(X+1)}}$$\bigr)$ for all X $\in$ $\mathbb {N}$. We are also able to explicitly determine the fundamental unit of the underlying quadratic order. Moreover, we exhibit infinite families of continued fraction beepers for which $\ell$$\bigl($$\sqrt{{D_k(X)}}$$\bigr)$ = $\ell$$\Bigl($$\bigl($1 + $\sqrt{{D_k(X)}}$$\bigr)$/2$\Bigr)$; for which $\ell$$\bigl($$\sqrt{{D_k(X)}}$$\bigr)$ = $\ell$$\Bigl($$\bigl($1 + $\sqrt{{D_k(X)}}$$\bigr)$/2$\Bigr)$ + 4; for which $\ell$$\bigl($$\sqrt{{D_k(X)}}$$\bigr)$ = 5$\Bigl($1 + $\ell$$\bigl($$\sqrt{{D_k(X)}}$$\bigr)$$\Bigr)$/2, the maximum possible according to [willbuck]; and for which $\ell$$\bigl($$\sqrt{{D_k(X)}}$$\bigr)$ = ${\frac{{1}}{{3}}}$$\ell$$\Bigl($$\bigl($1 + $\sqrt{{D_k(X)}}$$\bigr)$/2$\Bigr)$, the minimum possible according to [willbuck]. Furthermore, each of the D_k(X) is expressed in terms of Fibonacci numbers and the continued fraction expansions are all beepers or punctuated beepers. This continues work in [fqp]-[ram1].

RÉSUMÉ. Nous introduisons les concepts de beepers de fractions continues et de beepers pointés. Nous utilisons ces notions pour présenter des familles infinies de polynômes quadratiques {D_k(X)}_{k $\in$ $\mathbb {N}$} telles que la longueur $\ell$ de la période du développement en fraction continue de $\sqrt{{D_k(X)}}$ tend vers l'infini en fonction de k, alors que pour k fixe, $\ell$$\bigl($$\sqrt{{D_k(X)}}$$\bigr)$ = $\ell$$\bigl($$\sqrt{{D_k(X+1)}}$$\bigr)$ pour tout X $\in$ $\mathbb {N}$. Nous sommes aussi capables de déterminer explicitement l'unité fondamentale de l'ordre quadratique sous-jacent. De plus, nous exhibons des familles infinies de beepers de fractions continues pour lesquelles $\ell$$\bigl($$\sqrt{{D_k(X)}}$$\bigr)$ = $\ell$$\Bigl($$\bigl($1 + $\sqrt{{D_k(X)}}$$\bigr)$/2$\Bigr)$; pour lesquelles $\ell$$\bigl($$\sqrt{{D_k(X)}}$$\bigr)$ = $\ell$$\Bigl($$\bigl($1 + $\sqrt{{D_k(X)}}$$\bigr)$/2$\Bigr)$ + 4; pour lesquelles $\ell$$\bigl($$\sqrt{{D_k(X)}}$$\bigr)$ = 5$\Bigl($1 + $\ell$$\bigl($$\sqrt{{D_k(X)}}$$\bigr)$$\Bigr)$/2, ce qui correspond au maximum possible selon [willbuck]; et pour lesquelles $\ell$$\bigl($$\sqrt{{D_k(X)}}$$\bigr)$ = ${\frac{{1}}{{3}}}$$\ell$$\Bigl($$\bigl($1 + $\sqrt{{D_k(X)}}$$\bigr)$/2$\Bigr)$, ce qui correspond au minimum possible selon [willbuck]. De plus, chacun des D_k(X) s'exprime en termes de nombres de Fibonacci et les développements en fractions continues considérés sont tous des beepers ou des beepers pointés. Ce travail est la suite de [fqp]-[ram1].

SUKUMAR DAS ADHIKARI and FRANCESCO PAPPALARDI Remarks on the visibility problem in the function field case

ABSTRACT. We extend results of [a], [ab], [ac] on the visibility problem for lattice points in $\mathbb {Z}$^d to the case of function fields over finite fields which are related to important questions regarding the corresponding q-Jacobsthal function.

RÉSUMÉ. Nous étendons les résultats de [a], [ab], [ac] sur le problème de la visibilité des points du réseau $\mathbb {Z}$^d au cas des corps de fonctions sur un corps fini, en rapport avec la fonction de q-Jacobsthal.

YIK-MAN CHIANG and MOURAD E. H. ISMAIL Complex oscillation theory and special functions

ABSTRACT. This is an announcement of our results in [Chi:Ism] where we show the representations of the non-oscillatory solutions of certain ODEs come from confluent hypergeometric functions with finitely many zeros and orthogonal polynomials. We characterize the zero-distribution and representations of the solutions for two classes of the ODEs and indicate that the problem for the solutions of the remaining class of ODEs is related to a problem of Heine.

RÉSUMÉ. Ceci est une announce de nôtre resultat [10] dans lequel nous montrons que les représentations des solutions non-oscillatoires de certaines équations differentielles ordinaires proviennent des fonctions hypergéométriques confluents avec un nombre fini de zéros et aussi des polynômes orthogonaux. Nous caractérisons les distributions nulles et les représentations des solutions de deux classes des équations differentielles ordinaires et indiquons que la solution du problème dans les autres cas est relié à un problème de Heine.

BYRON SCHMULAND and WEI SUN A cocycle proof that reversible Fleming-Viot processes have uniform mutation

ABSTRACT. Why must the mutation operator associated with a reversible Fleming-Viot process be uniform? Our explanation is based on Handa's recent result that reversible distributions must be quasi-invariant under a certain flow, forcing the mutation operator to satisfy a cocycle identity.

RÉSUMÉ. Pourquoi l'opérateur de mutation lié à un processus réversible de Fleming-Viot doit-il être uniforme? Notre explication est baseé sur le résultat récent de Handa que les distributions réversibles doivent être quasi-invariables sous un certain écoulement, forçant l'opérateur de mutation à satisfaire une identité de cocycle.