Comptes rendus mathématiques de l'Académie des sciences
Mathematical Reports of the Academy of Science

Volume		Number		The Royal Society of Canada	March
Tom	24	Numéro	1	La Société royale du Canada	Mars	2002

JOHN D. DIXON Probabilistic Group Theory

ABSTRACT. This survey discusses three aspects of the ways in which probability has been applied to the theory of finite groups: probabilistic statements about groups; construction of randomized algorithms in computational group theory; and application of probabilistic methods to prove deterministic theorems in group theory. It concludes with a brief summary of related results for infinite groups.

RÉSUMÉ. Cet article donne un aperçu sur trois aspects des façons dont la probabilité est appliquée à la théorie des groupes finis: les faits probabilistiques des groupes; la construction d'algorithmes aléatoires dans la computation; et l'application des moyens probabilistiques pour obtenir les théorèmes déterministiques dans la théorie des groups. On termine avec un bref sommaire de résultats se rapportant aux groupes infinis.

C. J. MOZZOCHI On the Spectral Theory Approach to Counting Hyperbolic Lattice Points in Thin Regions

ABSTRACT. In this paper we establish rigorously for the modular group the unexpected result that if one employs the spectral expansion of automorphic kernels in the expected way exactly and precisely analogous to the technique of Hoheisel for counting primes in short intervals, it is not possible for one to get results concerning the counting of hyperbolic lattice points in thin regions even as good as those obtained directly and routinely from the spectral expansion for P(X) itself.

RÉSUMÉ. Nous établissons rigoureusement dans cet article, pour le cas du groupe modulaire, le fait surprenant que si l'on emploie le développement spectral des noyaux automorphes de manière précisément analogue à la technique de Hoheisel pour le comptage des nombres premiers dans de petits intervalles, il n'est pas possible d'obtenir des résultats concernant le comptage de points entiers dans le plan hyperbolique dans des petites régions qui soient même aussi bons que ceux obtenus directement à partir du développement spectral de P(X).

HARALD FRIPERTINGER Group actions and the functional equation of the mean sun

ABSTRACT. A generalization of the functional equation g(s + t)x(u) = g(s)x(t + u) ( $\forall$s, t, u $\in$ R) of the mean sun is studied, where a group G acts on a set X, (R, +) is a not necessarily commutative group and both x : R$\to$X and g : R$\to$G are unknown functions, which will be determined by the equation.

RÉSUMÉ. Une généralisation de l'équation fonctionnelle g(s + t)x(u) = g(s)x(t + u) ( $\forall$s, t, u $\in$ R) du soleil moyen est examinée, où une groupe agit sur un ensemble X, (R, +) est un groupe, mais pas nécessairement commutatif, et x : R$\to$X et aussi g : R$\to$G sont des fonctions inconnues lesquelles seront déterminées par l'équation fonctionnelle.

E. J. BEGGS and P. GOLDSTEIN Maximal abelian subalgebras of $\mathcal {O}$_n

ABSTRACT. We consider maximal abelian subalgebras of $\mathcal {O}$_n which are globally invariant under the standard circle action. It turns out that these are all contained in the fixed point algebra of the circle action. Then we consider shift invariant maximal abelian subalgebras of the fixed point algebra, which are also invariant under a ``second shift'' map, and show that these are just infinite tensor products of diagonal matrices in the standard UHF picture of the fixed point algebra.

RÉSUMÉ. Nous considérons les sous-algèbres maximales abéliennes d' $\mathcal {O}$_n qui sont globalement invariantes sous l'action standard du cercle. Il se trouve qu'elles sont toutes contenues dans l'algèbre des points fixes sous l'action du cercle. Nous considérons ensuite les sous-algèbres maximales abéliennes de l'algèbre des points fixes qui sont invariantes sous le shift et ``deuxième shift'' opérateur, et démontrons qu'elles sont seulement les produits tensoriels infinis des matrices diagonales dans la forme UHF standard de l'algèbre des points fixes.