Comptes rendus mathématiques de l'Académie des sciences
Mathematical Reports of the Academy of Science

Volume		Number		The Royal Society of Canada	March
Tom	23	Numéro	1	La Société royale du Canada	Mars	2001

DIPENDRA PRASAD and C. S. YOGANANDA Bounding the torsion in CM elliptic curves

ABSTRACT. Let E be an elliptic curve defined over a number field K of degree d over Q with complex multiplication by the imaginary quadratic field k with K $\cap$ k = $\bf Q$. If M is the order of the torsion subgroup of E(K) it is proved that $\varphi$(M) $\leq$ 2d using elementary arguments involving supersingular primes and the Cebotarev density theorem.

RÉSUMÉ. Nous donnons une borne supérieure pour l'ordre du groupe de torsion d'un courbe elliptique à multiplication complexe defini sur un corps de nombres quelconque. Ce résultat était établi par A. Silverberg en utilisant le théorème principale de CM. Nous présentons une démonstration plus simple qui utilise seulement le théorème de Deuring concernant les nombres premiers supersinguliers et la théorie algébraique des nombres.

R. BALASUBRAMANIAN and D. S. RAMANA Additive complements of the squares

ABSTRACT. When N $\geq$ 1 is an integer, let B(N) denote a subset of {0, 1,..., N}, of smallest cardinality, satisfying the following

RÉSUMÉ. Pour un entier N $\geq$ 1, soit B(N) une partie de {0, 1,..., N} de plus petit cardinal possible vérifiant : tout entier n satisfaisant 1 $\leq$ n $\leq$ N s'exprime n = b + k², pour b dans B(N) et un entier k. Soit b(N) la cardinalité de B(N) et soit $\alpha$ égal à $\liminf_{{N \rightarrow \infty}}^{}$b(N)/$\sqrt{{N}}$. Nous démontrons que si, un $\delta$ dans l'interval (0, 1) et tout N assez grand, l'interval [0,$\delta$N] contient un ensemble B(N), alors $\alpha$ $\geq$ 2/(${\frac{{\sqrt{1- \delta}}}{{1+\sqrt{\delta}}}}$ + sin^-1$\sqrt{{\delta}}$).

B. SURY Values of Euler polynomials

ABSTRACT. Recently, G. J. Fox [F] proved a theorem on the values of Euler polynomials at rational numbers analogous to a similar result on Bernoulli polynomials. The result on Bernoulli polynomials was originally discovered by Almkvist and Meurmann [AM]. Another proof was given by the author [S] and the object of this note is to point out that it actually provides a very easy proof of a generalisation of Fox's result.

RÉSUMÉ. Nous démontrons un résultat aux valeurs des polynômes d'Euler aux nombres rationnels. C'est analogue à un résultat connu pour les polynômes de Bernoulli et generalise le nouveau travail de G. J. Fox.

JACEK MROWIEC Remark on approximately Jensen-convex functions

ABSTRACT. Let X be a real vector space and D $\subset$ X be a convex set. It is shown that every $\varepsilon$-J-convex function f : D$\to$$\mathbb {R}$ is also C$\varepsilon$- $\mathbb {Q}$-convex, where C is a constant independent of f. It is also proved that every $\varepsilon$-W-convex and J-convex function is W-convex.

RÉSUMÉ. Que X désigne un espace réel des vecteurs et que D $\subset$ X soit un ensemble convexe. Il est montré que chaque $\varepsilon$-J-fonction convexe f : D$\to$$\mathbb {R}$ est aussi C$\varepsilon$- $\mathbb {Q}$-convexe, où C est une constante indépendante de f. Il est aussi prouvé que chaque $\varepsilon$-W-convexe et J-fonction convexe est W-convexe.

SERGIO AMAT and SONIA BUSQUIER A remark on inhomogeneous Cauchy problems

ABSTRACT. In this paper, a local existence and uniqueness theorem is presented for some inhomogeneous Cauchy problems. It is shown that we can choose the initial condition in the whole space, and not in a subset, like in the classical theorems.

RÉSUMÉ. Dans cet article, nous présentons un théorème d'existence et d'unicité local pour un problème de Cauchy non-homogène. Nous démontrons que la condition initiale peut être choisie dans tout l'espace et qu'aucune restriction à un sous-espace n'est nécessaire comme c'est le cas dans la théorie classique.

TAUNO METSÄNKYLÄ Catalan's equation with a quadratic exponent

ABSTRACT. We prove that Catalan's equation x^p - y^q2 = ±1 (p and q different odd primes) has no solution (x, y) unless x $\equiv$ 0 and p^q-1 $\equiv$ 1(mod q³). This is analogous to a recent result by Mihailescu, and also the proof based on the theory of cyclotomic fields is similar. We also provide a short elementary supplement.

RÉSUMÉ. On démontre que l'équation de Catalan x^p - y^q2 = ±1 (p et q premiers distincts impairs) n'a que de solutions sauf si x $\equiv$ 0 et p^q-1 $\equiv$ 1 (modq³). Ceci est analogue à un résultat récent de Mihailescu, et la démonstration, basée sur la théorie des corps cyclotomiques, est aussi similaire. On donne de plus un court supplément élémentaire.