Comptes rendus mathématiques de l'Académie des sciences
Mathematical Reports of the Academy of Science

Volume		Number		The Royal Society of Canada	September
Tom	21	Numéro	3	La Société royale du Canada	Septembre	1999

DANA SCHLOMIUK On the geometry of planar vector fields

GLENN J. FOX Euler polynomials at rational numbers

ABSTRACT. We prove that sⁿ$\left(\vphantom{ E_n(r/s)-(-1)^{rs}E_n(0) }\right.$E_n(r/s) - (- 1)^rsE_n(0)$\left.\vphantom{ E_n(r/s)-(-1)^{rs}E_n(0) }\right)$ $\in$ $\small {\bf Z}$ whenever r, s $\in$ $\small {\bf Z}$, s$\ne$ 0, where E_n(t) is the n-th Euler polynomial. This result is similar to a result of Almkvist and Meurman concerning Bernoulli polynomials.

RÉSUMÉ. Nous démontrons que sⁿ$\left(\vphantom{ E_n(r/s)-(-1)^{rs}E_n(0) }\right.$E_n(r/s) - (- 1)^rsE_n(0)$\left.\vphantom{ E_n(r/s)-(-1)^{rs}E_n(0) }\right)$ $\in$ $\small {\bf Z}$
quand r, s $\in$ $\small {\bf Z}$, s$\ne$ 0, et quand E_n(t) est l' n^{$\tiny {i\\lq eme}$} polynôme d'Euler. Ce résultat correspond au résultat d'Almkvist et Meurman en ce qui concerne les polynômes de Bernoulli.

S. G. WALTERS On the irrational quartic algebra

ABSTRACT. In this note a detailed account is given of recent results on the order four automorphism of the rotation C^*-algebra. If A_$\theta$ denotes the rotation C^*-algebra generated by unitaries U, V satisfying VU = e^{2$\pi$i$\theta$}UV and if $\sigma$ is the Fourier automorphism of A_$\theta$ given by $\sigma$(U) = V, $\sigma$(V) = U^-1, then it is shown that for a dense G_$\delta$ set of the real parameter $\theta$ in [0, 1] (containing the rationals) there is an isomorphism K₀(A_$\theta$×_$\sigma$$\mathbb {Z}$₄) $\cong$ $\mathbb {Z}$⁹ given explicitly by nine canonical modules over the crossed product C^*-algebra A_$\theta$×_$\sigma$$\mathbb {Z}$₄ (where $\mathbb {Z}$₄ is the cyclic group of order four).

RÉSUMÉ. Dans cette note, on présente un compte rendu détaillé des résultats récents sur l'automorphisme d'ordre de quatre de la C*-algèbre de rotation. Si A_$\theta$ est une C*-algèbre de rotation engendrée par des unitaires U, V tels que VU = e^{2$\pi$i$\theta$}UV et si $\sigma$ est un automorphisme de Fourier de A_$\theta$ défini par $\sigma$(U) = V, $\sigma$(V) = U^-1, alors on démontre que, pour un ensemble G_$\delta$ dense du paramètre réel $\theta$ dans [0, 1] (qui contient les rationnels), il y a un isomorphisme K₀(A_$\theta$×_$\sigma$$\mathbb {Z}$₄) $\cong$ $\mathbb {Z}$⁹ donné explicitement par neuf modules canoniques sur la C*-algèbre A_$\theta$×_$\sigma$$\mathbb {Z}$₄ (le produit croisé de groupe cyclique d'ordre quatre $\mathbb {Z}$₄).