Comptes rendus mathématiques de l'Académie des sciences
Mathematical Reports of the Academy of Science

Volume		Number		The Royal Society of Canada	September
Tom	20	Numéro	3	La Société royale du Canada	Septembre	1998

SHUI FENG and FRED M. HOPPE Limiting behaviour of some combinatorial structures in population genetics

ABSTRACT. Large deviation principles are established for some combinatorial structures in population genetics including the Ewens sampling formula and its two-parameter generalization.

RÉSUMÉ. On établit des principes de grandes déviations pour certaines structures combinatoires en génétique de population, en particulier pour la formule d'échantillonnage de Ewens et sa généralisation á deux paramétres.

D. J. JEFFREY, D. E. G. HARE and R. M. CORLESS Exact rational solutions of a transcendental equation

ABSTRACT. The equation xⁿb^x = c is solved using the Lambert W function. A new simplification rule for W is given that allows those cases in which the equation has rational solutions for x to be identified. A related equation studied by Euler, x^y = y^x, is also investigated using W.

RÉSUMÉ. On résout l'équation xⁿb^x = c en utilisant la fonction W de Lambert. Une nouvelle règle de simplification pour W est donnée qui permet d'identifier et de calculer certains cas pour lesquels l'équation possède des solutions rationnelles x. Nous examinons aussi à l'aide de la fonction W une équation apparentée à la première et qui fut étudiée par Euler, x^y = y^x.

V. VATSAL Congruences for the special values of modular L-functions

ABSTRACT. The Fourier coefficients of modular forms give rise in a general setting to congruences between the critical values of the associated L-functions. Let E be an elliptic curve over $\mathbb {Q}$ with a rational point of order three, and of good reduction at three. Let $\chi_{D}^{}$ denote the character of an imaginary quadratic field. We use our results to show that the twisted curves E $\otimes$ $\chi_{D}^{}$ often have rank zero.

RÉSUMÉ. Les résultats de cette note montrent comment les congruences entre les coefficients de Fourier des formes modulaires permettent d'obtenir dans un cadre général des congruences entre les valeurs critiques des fonctions L associées. Soit E une courbe elliptique sur $\mathbb {Q}$ ayant un point rationnel d'ordre trois et ayant bonne réduction en trois. Notons par $\chi_{D}^{}$ le caractère d'un corps quadratique complexe. Nous utilisons nos résultats pour montrer que les valeurs speciales tordues L(1, E $\otimes$ $\chi_{D}^{}$) sont souvent non-nulles.

A. RATTAN and C. STEWART Goldbach's conjecture for Z[x]

ABSTRACT. We use Eisenstein's Criterion to give an elementary proof of an analogue for $\mathbb {Z}$[x] of Goldbach's Conjecture; namely that any polynomial in $\mathbb {Z}$[x] can be expressed as the sum of two irreducibles. By a similar technique, we also show that there exist infinitely many p(x) $\in$ $\mathbb {Z}$[x] such that p(x)² + 1 is irreducible.

RÉSUMÉ. Nous utilisons le Criterium d'Eisenstein pour donner une preuve élémentaire d'une analogie pour $\mathbb {Z}$[x] du problème de Goldbach; nommément qu'on peut écrire chaque polynôme dans $\mathbb {Z}$[x] comme la somme de deux polynômes irréducibles. Par une technique similaire, nous montrons aussi qu'il y a un nombre infini de p(x) $\in$ $\mathbb {Z}$[x] pour que p(x)² + 1 est irréducible.

C. BETTS Additive and subtractive irreducible monic decompositions in $\mathbb {Z}$[x]

ABSTRACT. We prove two Goldbach-type theorems for polynomials in $\mathbb {Z}$[x]--the Additive Decomposition Theorem writes a monic polynomial as the sum of two irreducible monics and the Subtractive Decomposition Theorem writes any polynomial as the difference of two irreducible monics. The theorems can be used to derive many interesting results, e.g. given a monic polynomial P of degree n, we can find appropriate P_i such that Pⁿ = $\sum_{{i=0}}^{{n^2}}$P_i, where each P_i is an irreducible monic and deg(P_i) = i.

RÉSUMÉ. Nous démontrons des résultats à propos des analogues de la Conjecture de Goldbach pour l'anneau des polynômes $\mathbb {Z}$[x]. Les résultats les plus importants sont la décomposition d'un polynôme monique comme somme de deux polynômes irréductibles moniques et la décomposition de tout polynôme comme différence de deux polynômes irréductibles moniques. Les théoremes ont beaucoup de conséquences intéressantes, e.g., pour
chaque polynôme monique P avec deg(P) = n, il existe des polynômes irréductibles et moniques P_i, satisfaisant deg(P_i) = i, Pⁿ = $\sum_{{i=0}}^{{n^2}}$P_i.