Comptes rendus mathématiques de l'Académie des sciences
Mathematical Reports of the Academy of Science

Volume		Number		The Royal Society of Canada	June
Tom	20	Numéro	2	La Société royale du Canada	Juin	1998

N. BEN SALEM and K. TRIMÈCHE Results on the Jacobi functions with respect to the dual variable as eigenfunctions and applications

ABSTRACT. We define a second order difference operator P_{$\alpha$,$\beta$} such that the Jacobi function $\varphi^{{(\alpha,\beta)}}_{{\lambda}}$(t) is an eigenfunction of P_{$\alpha$,$\beta$} with respect to the dual variable $\lambda$. Next we give another second order difference operator Q such that the dual Mehler integral transform $\chi_{{\alpha,\beta}}^{}$ and its transpose ^t$\chi_{{\alpha,\beta}}^{}$ are permutation operators between P_{$\alpha$,$\beta$} and Q.

RÉSUMÉ. Nous définissons un opérateur de second ordre aux différences finies P_{$\alpha$,$\beta$} pour lequel la fonction de Jacobi $\varphi^{{(\alpha,\beta)}}_{{\lambda}}$(t) est une fonction propre par rapport à la variable duale $\lambda$. Ensuite nous donnons un autre opérateur de second ordre aux différences finies Q tel que les transformations de Mehler duale $\chi_{{\alpha,\beta}}^{}$ et sa transposée ^t$\chi_{{\alpha,\beta}}^{}$ soient des opérateurs de permutation entre P_{$\alpha$,$\beta$} et Q.

C.-S. LIN On Halmos's sharpening of Reid's inequality

ABSTRACT. We show in this paper that the inequality

|(S^{(1+2r)$\alpha$+(1+2s)$\beta$}Kx, y)|$$\leq$$ r(K)| S^{(1+2r)$\alpha$}x|| S^{(1+2s)$\beta$}y|

holds true for all x and y in a Hilbert space, where S $\geq$ O, S^{2(1+2r)$\alpha$}K is Hermitian, $\alpha$,$\beta$ $\in$ [0, 1], r, s $\geq$ 0, K is any operator, and r(K) is the spectral radius of K. If, in particular, 2(1 + 2r)$\alpha$ = 2(1 + 2s)$\beta$ = 1 and y = x, then we have |(SKx, x)|$\leq$ r(K)(Sx, x), which is Halmos's sharpening of Reid's inequality.

RÉSUMÉ. Nous démontrons dans cet article que l'inégalité

|(S^{(1+2r)$\alpha$+(1+2s)$\beta$}Kx, y)| $$\leq$$ r(K)| S^{(1+2r)$\alpha$}x| | S^{(1+2s)$\beta$}y|

est vérifiée pour tout x et y d'un espace d'Hilbert, où S $\geq$ O, S^{2(1+2r)$\alpha$}K est Hermitienne, $\alpha$,$\beta$ $\in$ [0, 1], r, s $\geq$ 0, K est un opérateur arbitraire et r(K) est le rayon spectrale de K. De plus, si 2(1 + 2r)$\alpha$ = 2(1 + 2s)$\beta$ = 1 et y = x nous retrouvons la version d'Halmos de l'inégalité de Reid: |(SKx, x)| $\leq$ r(K)(Sx, x).