Comptes rendus mathématiques de l'Académie des sciences
Mathematical Reports of the Academy of Science

Volume		Number		The Royal Society of Canada	June
Tom	19	Numéro	2	La Société royale du Canada	Juin	1997

FRANÇOIS LALONDE New trends in symplectic geometry

ABSTRACT. Je présente ici un survol des développements récents en géométrie symplectique. Cette géométrie--qu'on appelle aussi la topologie symplectique--a passé par trois moments forts au cours des quinze dernières années: les travaux de Conley-Zehnder qui l'ont enracinée dans le Calcul des Variations et la Dynamique, la percée fondamentale de Gromov qui a permis de la voir comme une généralisation très féconde de la géométrie kahlérienne, et enfin les découvertes de Seiberg-Witten et de Taubes qui ont montré la relation surprenante que la théorie quantique des champs entretient avec le symplectique, relation qui implique en particulier la coincidence entre les invariants de Seiberg-Witten (de type gauge) et ceux que Gromov construit avec les courbes holomorphes généralisées. Je décris ici les éléments de la théorie des courbes pseudoholomorphes de Gromov, les invariants qu'on en tire, les applications de cette théorie aux principaux problèmes de la géométrie symplectique. J'explique enfin comment les courbes stables--suivant une idée de Deligne et Kontsevich--peuvent servir à étendre la théorie de Gromov à toutes les variétés symplectiques. Je termine avec une courte présentation de la théorie de Taubes reliant la théorie de gauge de Seiberg-Witten à celle de Gromov.

CHARLES HELOU Cauchy-Mirimanoff polynomials

ABSTRACT. Les polynômes P_n = (X + 1)ⁿ - Xⁿ - 1, de Cauchy, ont des facteurs cyclotomiques simples. Mirimanoff conjectura que le facteur restant, E_n, est irréductible sur $\mathbb {Q}$. Le groupe de Galois de E_n est déterminé par ceux de polynômes auxiliares. Sur un corps fini $\mathbb {F}$_p, E_n est réductible si n est impair; mais pour N premier, on déduit du nombre de facteurs sur $\mathbb {F}$_p un critère d'irréductibilité sur $\mathbb {Q}$. Enfin, si p est premier, E_2p est irréductible sur $\mathbb {Q}$.

GEORGEY S. SMIRNOV and ROMAN G. SMIRNOV Best Uniform Restricted Ranges Approximation of Complex-Valued Functions

ABSTRACT. We study the uniform best restricted range approximations of complex-valued functions by generalized polynomials. The theory, generalizing the real-valued case, embraces the theorems of existence, characterization, uniqueness and strong uniqueness.

ABSTRACT. Nous étudions les meilleur approximations avec image restreint des fonctions de valeurs-complexes par polynômes généralisés. La théorie, en générsalisant le cas de valeur réel, comprend les théorèmes de l'existence, unicité et unicité forte.

H. DARMON Corrigendum to Faltings plus epsilon, Wiles plus epsilon, and the Generalized Fermat Equation

ABSTRACT.